弱混合马尔可夫链的亚稳态行为：可逆临界零程过程的情形

我们提出一种推导弱混合马尔可夫链亚稳态行为的一般方法。该方法基于预解方程的性质，可应用于不满足 Beltrán 与 Landim（2010,2012）或 Landim 等人（2020）中所要求混合条件的亚稳态动力学。作为应用，我们研究临界零程过程的亚稳态行为。令 $r: S\times S\to \bb R_+$ 为有限集 $S$ 上不可逆随机游走的跳跃率，关于一致测度可逆。对 $\alpha >0$，令 $g: \bb N\to \bb R_+$ 由 $g(0)=0$、$g(1)=1$、$g(k) = [k/(k-1)]^\alpha$（$k\ge 2$）给出。考虑 $S$ 上的零程过程，其中占据 $k$ 个粒子的站点 $x$ 处的粒子以速率 $g(k) r(x,y)$ 跳至站点 $y$。对 $\alpha \ge 1$，在稳态下，当粒子总数 $N$ 趋于无穷时，除可忽略数量的粒子外所有粒子聚集于单一站点。此现象称为凝聚。由于凝聚当且仅当 $\alpha\ge 1$ 时发生，我们称 $\alpha =1$ 的情形为临界。通过将文章第一部分建立的一般方法应用于临界情形，我们证明聚集几乎全部粒子的站点在时标 $N^2 \log N$ 上演化为 $S$ 上的随机游走，其转移率与底层随机游走的容量成正比。