有限状态马尔可夫链的亚稳态：一种识别慢变量用于模型简化的递归过程

考虑在固定有限集 $E$ 上演化、由参数 $N$ 索引的一列连续时间、不可约马尔可夫链 $(\eta^N(t) :t\ge 0)$。记 $R_N(\eta,\xi)$ 为马尔可夫链 $\eta^N_t$ 的跳跃率，并假设对任意键对 $(\eta,\xi)$、$(\eta',\xi')$，$\arctan \{R_N(\eta,\xi)/R_N(\eta',\xi')\}$ 当 $N\uparrow\infty$ 时收敛。在稍强一点的假设下（参见下文 \eqref{mhyp}），我们提出一种递归过程，其给出一列递增的时间尺度 $\theta^1_N, \dots, \theta^{\mf p}_N$、$\theta^j_N \ll \theta^{j+1}_N$，以及对集 $E$ 的粗化划分 $\{\ms E^j_1, \dots, \ms E^j_{\mf n_j}, \Delta^j\}$、 $1\le j\le \mf p$。令 $\phi_j: E \to \{0,1, \dots, \mf n_j\}$ 为由 $\phi_j(\eta) = \sum_{x=1}^{\mf n_j} x \, \mb 1\{\eta \in \ms E^j_x\}$ 定义的投影。对每个 $1\le j\le \mf p$，我们证明隐马尔可夫链 $X^j_N(t) = \phi_j(\eta^N(t\theta^j_N))$ 收敛到 $\{1, \dots, \mf n_j\}$ 上的马尔可夫链。