词的 q-Parikh 矩阵与 q-形变二项式系数

我们引入了两个有限词 $u$ 和 $v$ 的二项式系数的 q-形变，即一个具有自然系数的关于 $q$ 的多项式，用于统计 $v$ 作为 $u$ 的子词出现的次数。在本文中，我们研究了 E\u{g}ecio\u{g}lu 于 2004 年引入的 Parikh 矩阵的 q-形变。许多关于 Parikh 矩阵的经典结果可以推广到这个新框架：我们的第一个重要观察是，此类矩阵的元素实际上是词的 q-形变二项式系数。我们还研究了它们的逆矩阵，并作为一个应用，获得了关于 q-二项式的新恒等式。对于有限词 $z$ 和无限词的前缀序列 $(p_n)_{n\ge 0}$，我们证明了多项式序列 $\binom{p_n}{z}_q$ 收敛于一个形式级数。我们展示了其与加性数论和 k-正则序列的联系。在周期词 $u^\omega$ 的情况下，我们推广了 Salomaa 的一个结果：序列 $\binom{u^n}{z}_q$ 满足一个具有多项式系数的线性递推关系。结合整数分拆理论，我们描述了与 $u^\omega$ 相关联的级数系数的增长性和零点集。最后，我们证明了 q-Parikh 矩阵的子式是具有自然系数的多项式，并考虑了 Cauchy 不等式的推广。我们还比较了与任意词相关联的 q-Parikh 矩阵和与由两两不同符号组成的规范词 $12\cdots k$ 相关联的 q-Parikh 矩阵。