Burgers-FKPP 方程的推进、拉动与 pushmi-pullyu 波前

我们考虑具有强度 $\beta\in\mathbb{R}$ 平流的 Burgers-FKPP 方程解的长时间行为。该方程在 $\beta_c=2$ 处表现出从拉动型到推进型波前行为的转变。我们证明解收敛到以位置 $m_\beta(t)$ 为中心的参考系中的行波，并研究波前位置 $m_\beta(t)$ 的渐近性。当 $\beta < 2$ 时，其形式与 Bramson \cite{Bramson1,Bramson2} 建立的标准 Fisher-KPP 方程相同：当 $t\to+\infty$ 时，$m_\beta(t) = 2t - (3/2)\log(t) + x_\infty + o(1)$。此形式典型于拉动型波前。当 $\beta > 2$ 时，波前位于 $m_\beta(t)=c_*(\beta)t+x_\infty+o(1)$，其中 $c_*(\beta)=\beta/2+2/\beta$，这是推进型波前的典型形式。然而，在临界值 $\beta_c = 2$ 处，展开式变为 $m_\beta(t) = 2t - (1/2)\log(t) + x_\infty + o(1)$，反映了波前的“pushmi-pullyu”性质。$\beta<2$ 的论证依赖于一种新的加权 Hopf-Cole 变换，结合额外的陡度比较论证，可控制平流项。$\beta>2$ 的情形依赖于标准的推进型波前技术。$\beta=\beta_c$ 情形的证明更为复杂，涉及研究 Bramson 修正时通常不遇的论证。它依赖于 Burgers-FKPP 方程在 $\beta_c=2$ 处某种隐藏的粘性守恒律结构，并利用由相对熵型计算得出的耗散不等式，以及涉及动态变化权重的加权 Nash 不等式。