六角与三角对称二维Swift-Hohenberg偏微分方程中周期解及其分支的证明

本文在傅里叶级数中施加空间群对称性，以严格证明具有六角对称和三角对称的偏微分方程(PDEs)中光滑周期解的存在性。特别地，我们提供了在六角格点上构造函数傅里叶级数所需的解析和数值工具。这使得能够构建周期性的近似解。此外，为了生成周期性铺砌，我们可以对$D_6$对称性使用一个对称六边形，对$D_3$对称性使用两个对称三角形。我们推导了一种基于在近似解$\overline{u}$周围构造近似逆的Newton-Kantorovich方法。更具体地说，我们验证了一个基于显式界计算的条件。将介绍构造$\overline{u}$、近似逆以及计算这些界的策略。我们通过在二维Swift-Hohenberg PDE上证明$D_3$和$D_6$周期解的存在性来展示我们的方法。然后，我们通过使用切比雪夫级数进行解的分支证明。执行证明的算法细节可在Github上找到。