通过半群理论实现高维半线性抛物型偏微分方程的严格积分器与全局存在性
偏微分方程分析
2025-01-22 v2 数值分析
动力系统
数值分析
摘要
在本文中，我们引入了一种一般的构造性方法，通过半群理论和计算机辅助证明来计算超矩形区域上半线性抛物型偏微分方程初值问题的解。一旦通过有限维投影获得解的数值候选者，便使用 Chebyshev 级数展开来求解关于该近似的线性化方程，从而构造出解映射算子。利用该解算子（由半群理论保证其存在性），我们定义了一个无穷维压缩算子，其唯一不动点及其严格界限提供了该解的局部包含。将此技术应用于多个时间步，可以得到解在长时间区间上存在的构造性证明。作为应用，我们研究了 3D/2D Swift-Hohenberg 方程，在此我们将该方法与捕获区域的显式构造相结合，以证明收敛于非平凡平衡点的初值问题解的全局存在性。第二个应用是 2D Ohta-Kawasaki 方程，为处理非线性项中的导数提供了一个框架。
引用
@article{arxiv.2402.00406,
title = {A rigorous integrator and global existence for higher-dimensional semilinear parabolic PDEs via semigroup theory},
author = {Gabriel William Duchesne and Jean-Philippe Lessard and Akitoshi Takayasu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2402.00406},
year = {2025}
}