基于谱方法严格计算无界域上半线性偏微分方程的解

本文提出一种通用方法，借助计算机辅助证明，严格证明一大类自治半线性偏微分方程在希尔伯特空间 $H^{l}\subset H^{s}(\mathbb{R}^{m})$（$s\geq1$）中强解的存在性。我们的方法完全基于谱方法，使用傅里叶级数逼近 $H^{l}$ 中的函数以及从 $L^{2}$ 到 $H^{l}$ 的有界线性算子。特别地，我们通过傅里叶级数逼近构造微分算子的近似逆。将此构造与 Newton-Kantorovich 方法结合，我们发展了证明强解存在的数值方法。为此，我们引入有限维迹定理，并由此构造超立方体上具紧支集的光滑函数。该方法随后推广至带额外方程/参数（如特征值问题）的偏微分方程组。作为应用，我们证明了 Kawahara 方程在 $H^{4}(\mathbb{R})$ 中行波（孤子）的存在性，以及该孤子线性化 about 的特征对。这些结果使我们能够证明上述行波的稳定性。