利用 Gegenbauer 多项式构造抛物型偏微分方程稳态解的存在性证明及其稳定性

本文提出了一种计算机辅助框架，用于构造性证明一维抛物型偏微分方程稳态解的存在性，并严格确定其线性稳定性。通过将解展开为 Gegenbauer 多项式，我们首先针对边值问题 (BVPs) 发展了一种通用方法，该方法对应于偏微分方程的稳态部分。这为微分算子和乘法算子均提供了计算高效的稀疏结构。通过推导微分算子逆的尖锐、显式和定量估计，我们实现了 Newton-Kantorovich 方法。具体而言，给定数值近似 $\bar{u}$，我们证明在一个严格量化的 $\bar{u}$ 的小邻域内存在真实稳态解 $\tilde{u}$。该方法的一个关键优势在于，对缺陷 $\tilde{u}-\bar{u}$ 的精确控制，结合 Gegenbauer 基的谱性质，能够对 $\tilde{u}$ 附近线性化的谱进行精确围道。这使得能够对验证解的（不）稳定性得出确定性结论，这是该论文的主要贡献。我们通过若干应用展示了该方法的有效性，涵盖了稳定和不稳定的平衡状态。