$\mathbb{R}^d$ 上半线性椭圆系统局部径向解的构造性证明
偏微分方程分析
2023-10-17 v2
摘要
椭圆问题的基态解在偏微分方程理论中已被广泛分析，因为它们代表了许多模型方程中的基本空间模式。虽然标量方程以及某些特定类别的椭圆系统的结果十分全面，但对于一般非线性椭圆方程组中的这类局部解，人们所知甚少。在本文中，我们提出了一种通用方法，构造性地证明 上椭圆系统局部径向对称解的存在性。此类解本质上由非自治常微分方程组描述。我们利用动力系统理论与计算机辅助证明技术研究了这些系统，将适当选取的 Lyapunov-Perron 算子与 Newton-Kantorovich 型定理相结合。我们通过证明 上的立方 Klein-Gordon 方程、 上的 Swift-Hohenberg 方程以及 上的三组分 FitzHugh-Nagumo 系统的特定局部径向解，展示了该方法论的强大能力。这些结果说明了广泛椭圆系统中的基态解可通过构造性证明加以处理。
引用
@article{arxiv.2211.16445,
title = {Constructive proofs for localized radial solutions of semilinear elliptic systems on $\mathbb{R}^d$},
author = {Jan Bouwe van den Berg and Olivier Hénot and Jean-Philippe Lessard},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.16445},
year = {2023}
}