常系数线性偏微分方程多项式特解的构造
数值分析
2023-12-21 v2 数值分析
偏微分方程分析
摘要
本文介绍了在二维和三维空间中对具有多项式右端项的常系数线性偏微分方程（PDEs）构造闭式解的一般方法。多项式解近年来在评估体积积分算子的数值技术发展以及某些 Trefftz 有限元方法的潜在应用中重新获得重要性。本工作涵盖的方程包括各向同性与各向异性泊松方程、亥姆霍兹方程、斯托克斯方程、线性化纳维-斯托克斯方程、定常对流-扩散方程、弹性静力学方程，以及时谐弹性动力学方程和麦克斯韦方程。若干复杂偏微分方程系统的解通过势表示获得，并依赖于亥姆霍兹或泊松求解器。所处理的某些情形，即斯托克斯流、麦克斯韦方程和线性化纳维-斯托克斯方程，自然地对解施加了散度约束。本文提供了一种通用模式，即利用偏微分算子（PDO）最低阶部分的解来构造解。除各向异性材料张量外，计算这些解无需矩阵求逆或线性方程组求解。本工作附带一个免费可用的 Julia 库 \texttt{ElementaryPDESolutions.jl}，以高效且用户友好的形式实现了所提出的方法。
引用
@article{arxiv.2306.13628,
title = {Construction of polynomial particular solutions of linear constant-coefficient partial differential equations},
author = {Thomas G. Anderson and Marc Bonnet and Luiz M. Faria and Carlos Pérez-Arancibia},
journal= {arXiv preprint arXiv:2306.13628},
year = {2023}
}