具有退化交叉依赖自扩散率的简化肿瘤生长模型中的传播前沿

受癌症生物学中肿瘤生长的启发，我们对简化 Gatenby--Gawlinski 模型 $$\partial_t U = U\{f(U)-dV\}, \qquad \partial_t V = \partial_x \{f(U)\,\partial_x V\} + r V f(V),$$ 的侵入前沿的存在与不存在性给出完整分析，其中 $f(u) = 1-u$，参数 $d,r$ 为正。记 $(\mathcal{U},\mathcal{V})$ 为行波剖面，记 $(\mathcal{U}_\pm,\mathcal{V}_\pm)$ 为其在 $\pm\infty$ 处的渐近态，我们研究以下情形中的存在性：i) $d > 1$（齐次侵入）：$(\mathcal{U}_-,\mathcal{V}_-) = (0,1)$，$(\mathcal{U}_+,\mathcal{V}_+) = (1,0)$；ii) $d < 1$（非齐次侵入）：$(\mathcal{U}_-,\mathcal{V}_-) = (1-d,1)$，$(\mathcal{U}_+,\mathcal{V}_+) = (1,0)$。在两种情形下，我们证明当速度参数 $c$ 严格为正时传播前沿存在。我们还导出了在奇异极限 $c \to 0$ 下前沿剖面的精确近似。