关于零和向量的锐利 $\ell_p$ 范数的 Holevo--Utkin 猜想的证明

设 $d\ge 3$ 且 $p>0$。记 $\|x\|_p$ 为 $d$ 维向量 $x$ 的 $\ell_p$ (准)范。Holevo 和 Utkin \cite{HU26} 猜想指出，对 $0<p\le 1$，有 $$\min \left\{ \frac{\|x\|_p}{\|x\|_2}:\vec{0}\neq x\in\mathbb R^d,\ \sum_{i=1}^d x_i=0 \right\} =2^{1/p-1/2};$$ 对 $1<p<2$，有 $$\min \left\{ \frac{\|x\|_p}{\|x\|_2}:\vec{0}\neq x\in\mathbb R^d,\ \sum_{i=1}^d x_i=0 \right\} = \min\left\{2^{1/p-1/2},\left(\frac{(d-1)^{p/2}+(d-1)^{1-p/2}}{d^{p/2}}\right)^{1/p}\right\};$$ 以及对 $2<q<\infty$，有 $$\max\left\{ \frac{\|x\|_q}{\|x\|_2}:\vec{0}\neq x\in\mathbb R^d,\ \sum_{i=1}^d x_i=0 \right\} = \max\left\{2^{1/q-1/2},\left(\frac{(d-1)^{q/2}+(d-1)^{1-q/2}}{d^{q/2}}\right)^{1/q}\right\}.$$ 他们在 \cite{HU26} 中证明了 $d=3$ 的情况。在本文中，我们确认剩余情况 $d\ge 4$ 的猜想。