二维 Dirac 方程高阶约化的射影微分几何

我们研究二维 Dirac 方程的约化，其施加条件为存在 $n$ 阶微分算子 $D_n$ 将其特征函数映射为伴随特征函数。对于一阶算子，这些约化（及其多分量类比）导致描述正交坐标系的 Lame 方程。我们的主要观察是，$n$ 阶约化与支配射影空间 $P^{2n-1}$（即 $D_n$ 的射影化核）中特殊线汇类的射影几何“Gauss-Codazzi”方程一致。在二阶情形，这导向 $P^3$ 中属于线性丛的 $W$-汇理论，而三阶情形对应于 $P^5$ 中的各向同性汇。高阶约化与 Davey-Stewartson 族的奇阶流相容。所有这些流保持核 $D_n$，从而定义线汇的非平凡几何演化。我们也讨论了多分量推广。建立了几何图像与可积系统理论之间的对应；给出了约化类及所有几何对象在多分量 KP 族中的定义。构造了任意阶约化的生成形式。