统计流形中测度值演化方程基于投影的降维

我们提出了一种用于无限维测度值演化方程（如Fokker-Planck偏微分方程或非线性滤波的Kushner-Stratonovich、Duncan-Mortensen-Zakai随机偏微分方程）的降维方法，其在信号处理、量化金融、热流和量子理论等诸多领域有潜在应用。我们的方法基于由G. Pistone及其合作者发展的指数统计流形结构中构建的对偶论证所产生的投影。选择应将无限维方程投影其上的有限维流形至关重要，我们提出了有限维指数族和混合族。同样的问题已由D. Brigo及其合作者研究过，特别是在非线性滤波背景下，但当时使用了密度平方根空间或密度本身空间上的$L^2$结构，而未采用无限维流形环境空间来投影方程。此处我们从指数统计流形视角重新审视这些工作，从而对涉及的流形结构获得更深的几何理解。我们还证明了指数流形结构中的投影与Fisher-Rao度量一致，并且在有限维指数族情况下与假定密度近似一致。进一步，我们证明若有限维指数族的充分统计量选在后向扩散算子的特征函数中，则统计流形或Fisher-Rao投影为Fokker-Planck方程解提供最大似然估计量。最后我们试图澄清指数与混合空间的有限维与无限维术语如何关联。