持久同调秩函数的主成分分析及其在空间点模式、球体堆积和胶体中的应用研究

持久同调，虽然表面上测量拓扑的变化，却捕捉了多尺度的几何信息。它是分析点模式的一个自然工具。在本文中，我们探索了（持久同调）秩函数的统计功效。对于一个点模式 $X$，我们通过取以 $X$ 中点为中心的半径为 $a$ 的球的并集 $X_a = \cup_{x\in X}B(x,a)$ 来构造空间的滤过。秩函数 ${\beta}_k(X):{\{(a,b)\in \mathbb{R}^2: a\leq b\}} \to \mathbb{R}$ 然后定义为 ${\beta}_k(X)(a,b) = rank ( \iota_*:H_k(X_a) \to H_k(X_b))$，其中 $\iota_*$ 是由空间包含映射诱导的同调映射。我们将秩函数视为位于一个 Hilbert 空间中，并证明在合理条件下，来自多次模拟或实验的秩函数将位于一个仿射子空间中。这使我们能够执行泛函主成分分析，并将其应用于不同有效温度下的胶体以及不同体积分数的球体堆积的实验数据。我们还利用到单位正方形内二项点模式的经验计算平均秩函数的距离，研究了秩函数在为二维点模式提供完全空间随机性检验方面的潜力。