关于持久图线性表示的权函数选择

持久图是点云拓扑的高效描述子。由于它们天然不属于 Hilbert 空间，标准统计方法无法直接应用于它们。相反，特征映射（或表示）常用于分析。我们称之为线性的一大类特征映射依赖于某些权函数，其选择是一个关键问题。选择权函数的一个重要准则是确保特征映射相对于图上 Wasserstein 距离的稳定性。我们改进了此类映射稳定性的已知结果，并将其推广到一般权函数。我们还通过考虑渐近设定来解决权函数的选择问题；假设 $\mathbb{X}_n$ 是 $[0,1]^d$ 上某个密度的独立同分布样本。对于 Čech 和 Rips 过滤，我们刻画了相应特征映射在 $n$ 趋于无穷时收敛的权函数，并由此证明了此类图的 total persistence 的大数定律。这两种方法（稳定性与收敛性）导向同一个简单的权函数调参启发式规则：若数据靠近一个 $d$ 维流形，则合理的权函数选择为持久度的 $\alpha$ 次幂，其中 $\alpha \geq d$。