素数密度与马西亚空间在principal ideal域中的分类

最近，马西亚拓扑被推广到非域的积分域，以提供一种关于单位集合有限或非开时素数元素无限性的拓扑证明。在本文中，我们通过使用雅可比根彻底消除这种基数假设。我们证明，在任何半原型积分域中，单位群在马西亚拓扑下并非开集。因此，对于principal ideal域，这给出了雅可比根的平凡性、素数集合的稠密性以及单位群在马西亚拓扑下不为开集之间的等价性。此外，我们完全描述了在不同无限principal ideal域上的马西亚空间何时同胚的条件，涉及域中某些子集的基数。作为应用，我们解决了一个关于可数无限半原型principal ideal域上马西亚空间同胚性的开放问题。