通过零点：自然理想类别的互动性质数测试
计算复杂性
2025-03-27 v1 符号计算
摘要
数学与计算机科学中的核心问题之一是确定给定理想I是否为质数，该问题几何上对应于I的零集合Z(I)是否不可约。主理想(即m=1)的情况对应于更熟悉的多项式绝对不可约性测试，其中Kaltofen 1995的经典工作给出了一种基于随机化的多项式时间算法。然而，当m>1时，质数测试问题的复杂度似乎更为困难。当前已知的最佳算法仅被证明在EXPSPACE中。在本工作中，我们显著缩小了理想质数测试问题的复杂度理论间隙，针对重要的理想族I（即根式理想和等维Cohen-Macaulay理想）。对于这些理想的族，假设广义黎曼假设，我们展示了质数测试位于Σ₃^p ∩ Π₃^p中。这显著改进了这些族的上界，接近下界，因为该问题对这些理想族的问题是coNP-hard的。我们结果的另一 consequences是对于等维Cohen-Macaulay理想，我们得到了第一个PSPACE算法用于质数测试，指数级地改进了先前已知算法的空间复杂度和时间复杂度。
引用
@article{arxiv.2503.20071,
title = {Primes via Zeros: Interactive Proofs for Testing Primality of Natural Classes of Ideals},
author = {Abhibhav Garg and Rafael Oliveira and Nitin Saxena},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.20071},
year = {2025}
}
备注
36 pages. Accepted in STOC 2025