计算局部理想类幺半群与 Gekeler 比率

设 $A = \mathbb{F}_q[T]$，$\mathfrak{p} \subset A$ 为素理想，$f(x) \in A[x]$ 不可约，并设 $R = A[x]/f(x)$。记其完备化为 $R_\mathfrak{p}$。理想类幺半群 $\text{ICM}(R_\mathfrak{p})$ 是 $R_\mathfrak{p}$ 分式理想模去 $R_\mathfrak{p}$ 主理想的集合。我们提供了一种计算 $\text{ICM}(R_\mathfrak{p})$ 的算法。在此过程中，我们还得到了计算 $R_\mathfrak{p}$ 的超序和弱等价类的算法。随后，我们使用这些算法计算局部 Gekeler 比率的乘积 $\prod_{\mathfrak{p} \subset A} v_\mathfrak{p}(f) = \prod_{\mathfrak{p} \subset A} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|\{M \in \text{Mat}_r(A/\mathfrak{p}^n)\mid \text{charpoly}(M)=f\}}{|\text{SL}_r(A/\mathfrak{p}^n)|/|\mathfrak{p}|^{n(r-1)}}$。这构成了计算 Drinfeld 模同构类加权大小算法的一部分。