多项式关于 $\mathbb{Q}$ 的蒙特卡罗不可约性与 imprimitivity 检测

我们研究用于测试 $\mathbb{Q}$ 上多项式不可约性和检测算术 imprimitivity 的快速蒙特卡罗方法。基于 Pemantle-Peres-Rivin 的子集和准则，我们开发一种其预期运行时间（以检查的素数数目为单位）在度数的对数级的概率性不可约性测试。与标准模分不可约性测试不同，该方法聚合来自模分因式分解的信息，而非丢弃不成功的试验。我们指出，该测试失败时结合标准模分不可约性证书，是检测非通用代数结构的强指示器。特别是，它常常信号 Galois 作用的算术 imprimitivity。我们提出一种通过子域提取检测此类 imprimitivity 的显式高效蒙特卡罗算法，给出可构造的代数证书。据我们了解，这是首个在高阶检测 $\mathbb{Q}$ 上多项式算术 imprimitivity 的实用算法。我们进一步指出，Pemantle-Peres-Rivin 测试产生的子集和数据为多项式因式分解提供热启动，通过显著限制有理因子的可能度，显著加速随后的提升程序。所提方法在实际操作中远快于已知确定性算法，适用于当前确定性技术难以覆盖的高度阶。