具有凹收益的图着色博弈的无政府代价

我们研究一类图着色博弈（多矩阵共同收益博弈的子类）中的无政府代价。在这些博弈中，玩家是无向简单图的顶点，每个玩家的策略空间是从 $1$ 到 $k$ 的颜色集合。对于每位玩家的收益为与其颜色不同的邻居数量的情况，已知无政府代价的紧界为 $\frac{k}{k-1}$（Hoefer 2007, Kun et al. 2013）。更复杂收益函数的研究作为开放问题被留下。我们通过确定玩家颜色与其每个邻居颜色的距离，对每距离应用一个非负实值凹函数 $f$，然后将所得值求和来计算玩家的收益。这包括 Kun 等人（2013）为未来工作建议的收益函数作为特例。记 $f^*$ 为 $f$ 在可能距离 $0,\dots,k-1$ 上达到的最大值。我们证明对于非递减或在距离不超过 $\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$ 处取到 $f^*$ 的凹函数 $f$，无政府代价的上界为 $2$。对于单调情况以及对于偶数 $k$ 在 $\frac{k}{2}$ 处取到 $f^*$ 的情况给出了匹配的下界。对于一般凹函数，我们证明上界为 $3$。我们使用一种简单但强大的技术：如果我们能给出一个拆分 $\lambda_1 + \dots + \lambda_k = \lambda$ 使得对所有 $p \in \{1,\dots,k\}$ 有 $\sum_{s=1}^k \lambda_s \cdot f(|s-p|) \geq f^*$，则得到无政府代价的一个上界 $\lambda \geq 1$。可行拆分的发现可借助计算机实验支持。我们展示了一旦我们对哪类拆分有效有了想法，该技术如何有助于给出简单证明，这些证明主要通过分情况讨论、代数操作和实分析完成。