利用 Cautis-Kamnitzer-Morrison 原理给出模范畴的表示

我们利用对偶定理得到一些模范畴的表示。为推导这些表示，我们推广了 Cautis-Kamnitzer-Morrison [arXiv:1210.6437v4] 的一个结果：设 $\mathfrak{g}$ 为约化 Lie 代数，$A$ 为代数，二者均定义在 $\mathbb{C}$ 上。考虑一个 $(\mathfrak{g} , A)$-双模 $P$，其中 (a) $P$ 可分解为无重数的不可约 $(\mathfrak{g} , A)$-双模直和。(b) $P$ 是“饱和的”，即对任意不可约 $\mathfrak{g}$-模 $V$，若 $V$ 的每个权都是 $P$ 的权，则 $V$ 是 $P$ 的子模。我们证明条件 (a) 和 (b) 是如下范畴同构存在的充要条件：该同构介于 $\mathcal{R}ep A$ 的全子范畴（其对象是 $P$ 的 $\mathfrak{g}$-权空间）与 Lusztig 幂等形式的范畴版本 $\dot{{\mathcal{U}}} \mathfrak{g}$ 的一个商范畴之间，此商范畴通过将 $\dot{{\mathcal{U}}} \mathfrak{g}$ 中依赖于 $P$ 的某对象集合上的所有态射设为零而得到。这本质上是 Doty 在 [arXiv:math/0305208] 中给出的广义 Schur 代数与 Lusztig 幂等形式之商的识别的范畴版本。应用于 Schur-Weyl 对偶，我们得到了 $\mathcal{R}ep S_d$ 中以置换模直和为对象的全子范畴的图示表示，以及置换模之间态射的 $\otimes$-积的显式描述。应用于 Brauer-Schur-Weyl 对偶，我们得到了 $\mathcal{R}ep \mathcal{B}_{d}^{(- 2n)}$ 与 $\mathcal{R}ep \mathcal{B}_{r,s}^{(n)}$ 的子范畴的图示表示，其 Karoubi 完备分别构成整个 $\mathcal{R}ep \mathcal{B}_{d}^{(- 2n)}$ 与 $\mathcal{R}ep \mathcal{B}_{r,s}^{(n)}$。