关于多项式空间预 Hilbert 结构及其关联拉普拉斯算子
综合数学
2026-03-17 v2
摘要
我们研究由一般预 Hilbert 内积定义的正交多项式系统，这超出度量的经典框架。我们将每个此类内积关联一个由抽象导数定义的规范拉普拉斯算子，并调查由此构造诱导的算子理论结构。我们的主要贡献是引入一种基于初步函数的多项式 Hilbert 几何之间的距离度量，并证明有限次数正交化程序的定量稳定性结果。特别是，我们表明关联拉普拉斯算子在范数-初步意义上的接近性意味着在所有有限维多项式子空间上的范数-初步稳定性、正交投影器和再现核。该一般理论通过几个具体例子进行了说明。我们详细分析了单位圆上的正交多项式，比较经典的 几何与有限 Radon 度量和 Sobolev 类型正则化通过傅里叶方法。我们也重访薄环面问题，表明其渐近 regime 作为多项式几何的初步极限具有自然的解释。这些结果为研究正交多项式系统的稳定性、退化和几何极限提供了统一的算子理论框架。
引用
@article{arxiv.2512.22394,
title = {Preliminaries on Pre-Hilbert Structures on Polynomial Spaces and Associated Laplacians},
author = {Jean-Pierre Magnot},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.22394},
year = {2026}
}