实多项式空间的小高度整系数正交基

设 $P_N(R)$ 为 $N$ 个变量的所有实多项式构成的空间，其上赋予通常的内积 $<, >$，该内积通过对单位球面进行积分给出。我们首先针对表示 $P_N(R)$ 中次数 $\leq M$ 的所有多项式的系数向量空间上的该内积，推导出一个显式的组合公式。我们展示了该公式的两个应用。首先，给定 $P_N(R)$ 的一个定义在 $Q$ 上的有限维子空间 $V$，我们证明了 $(V, <, >)$ 存在一个由小高度整系数多项式构成的正交基，并给出了高度的显式界；这可以被视为实多项式内积空间上的 Siegel 引理的一个版本。其次，我们推导了 $R^N$ 中单位球面上的有限点集成为球面 $M$-设计 的一个判据。