zeta(s,alpha) 的 r 阶偏导数的精确定义与解析性
数论
2013-05-15 v1
摘要
S. Ramanujan[1] 知晓对于复数 s 和 0<=alpha<1，zeta(s,1-alpha) 具有关于 alpha 的幂级数表达式，但他并未对此进行深入探索。作者 [2] 推导出了对于满足 |alpha|<1 的复数 alpha，zeta(s,1+alpha) 关于 alpha 的幂级数表达式，并在作者 [3] 中证明了对于整数 n>=0，zeta(-n,alpha) 的幂级数是关于 alpha 的多项式。在此背景下，我们针对复数 s 和 alpha，给出了 zeta(s,alpha) 关于 s 的 r 阶偏导数关于 alpha 的幂级数表达式的精确定义。我们还讨论了 zeta(s,alpha) 关于 s 的 r 阶偏导数作为 s 和 alpha 的函数的解析性，并证明了关于 s 和 alpha 的偏导数是可交换的。我们计算了当 s=0 和 s=1 时，zeta(s,alpha) 关于 s 的 r 阶偏导数关于 alpha 的偏导数。最后，我们讨论了对于复数 alpha，zeta(s+1,alpha) 关于 s 的幂级数。
引用
@article{arxiv.1305.3238,
title = {Precise Definition And Analyticity of r-th order partial derivative of zeta(s,alpha)},
author = {Vivek V. Rane},
journal= {arXiv preprint arXiv:1305.3238},
year = {2013}
}
备注
12 pages