仿射型 $\tilde A$ 辫群的对偶展示

在本文中我们为所有 Artin-Tits 群定义对偶幺半群，并证明对于 $\tilde A_n$ 型我们得到一个（拟）-Garside 结构。这样的结构为 Artin-Tits 群元素提供正规形，并允许解决某些问题，例如确定 Artin-Tits 群中 Coxeter 元素之幂的中央化子。更精确地，若 $W$ 是一个 Coxeter 群，可考虑 $W$ 上相对于由所有反射组成的生成集 $R$ 的长度 $l_R$。令 $c$ 为 $W$ 中一个 Coxeter 元素，令 $P_c$ 为满足 $c$ 可写为 $c=pp'$ 且 $l_R(c)=l_R(p)+l_R(p')$ 的元素 $p\in W$ 的集合。我们定义幺半群 $M(P_c)$ 为由与 $P_c$ 一一对应 $p\mapsto \underline p$ 的集合 $\underline P_c$ 生成的幺半群，仅当 $p$、$p'$ 与 $pp'$ 属于 $P_c$ 且 $l_R(pp')=l_R(p)+l_R(p')$ 时有关系 $\underline{pp'}=\underline p.\underline p'$。我们猜想 $M(P_c)$ 的商群是附着于 $W$ 的 Artin-Tits 群，且它有一个简单的展示（见 \ref{conjecture} (ii)）。这些猜想已知对球型 Artin-Tits 群成立。此处我们证明它们对 $\tilde A$ 型 Artin-Tits 群成立。此外，我们表明恰好对 Coxeter 元素的一个选择（模图表自同构）我们得到一个（拟-）Garside 幺半群。证明使用了环面中的不交叉路径，它们是此背景下用于 A 型的不交叉分区的对应物。