算子 $u(z)\frac{d}{dz}$ 的幂及其与某些组合数的联系

本文考虑算子 $A = u(z)\frac{d}{dz}$，其中 $u$ 是复平面上的整函数或亚纯函数。借助微分算子 $D=\frac{d}{dz}$ 的幂得到了 $A^{k}$（$k\geq1$）的展开式，并表明该展开依赖于特殊数。给出了这些数与已知组合数的联系。考虑了对应于 $u(z) = z$、$u(z) = e^{z}$、$u(z) = \frac{1}{z}$ 的算子 $A$ 的一些特例。