真因子之和的无幂性

令 $s(n):= \sum_{d\mid n,~d<n} d$ 表示 $n$ 的真因子之和。一个自然的猜想是：对每个整数 $k\ge 2$，等价关系 $$\text{$n$ 是 $k$ 次幂自由的} \Longleftrightarrow \text{$s(n)$ 是 $k$ 次幂自由的}$$ 几乎总是成立（即在一组渐近密度为 $1$ 的集合上成立）。我们对 $k\ge 4$ 证明了这一点。