戴森圆形集合功率谱

功率谱是与特征值序列成员位置偏离平均位置协方差相关的傅里叶级数统计量。当该特征值序列具有旋转不变性时（例如戴森圆形集合的特征角），最近的 Riser 和 Kanzieper 的工作揭示了功率谱以条件化间隙概率的生成函数表达的精确等式，其中包含 k 个特征值位于区间内。这些作者还展示了对于圆单位集合，生成函数的可积性性质通过特定的 Painlev\'e VI 系统，蕴含了相应功率谱的计算方案，并允许确定其大 N 极限。在本文中，这些结果扩展到圆正交集合和圆辛正交集合，其中可积性通过四个特定的 Painlev\'e VI 系统（有限 N）以及两个 Painlev\'e III' 系统（极限 N\to\infty）以及相应的 Fredholm 行列式表达。极限功率谱 $S_\infty(\omega)$（其中 $\omega$ 表示傅里叶变量）与极限条件化间隙概率生成函数之间的关系直接涉及仅对间隙端点进行单次积分。将该生成函数解释为计数统计量的特征函数后，可证明 $S_\infty(\omega) \mathop{\sim}\limits_{\omega \to 0} {1 \over \pi \beta | \omega|}$，其中 $\beta$ 为戴森指数。