关于随机矩阵的不变 2x2 $\beta$-系综

我们引入并精确求解了一族依赖于单一参数$\eta$的不变 2x2 随机矩阵，并证明了旋转不变性与实 Dyson 指数$\beta$并非互斥性质。矩阵元的概率密度包含一个权重函数和一个多重迹 - 迹相互作用项，后者对应于 Vandermonde 平方耦合在幂和基底上的表示。结果表明，该系综的有效 Dyson 指数$\beta_{eff}$可在一个区间内取任意实数值。我们详细探讨了两种权重函数（高斯型与非高斯型），并分别突出了其与 Dumitriu-Edelman $\beta$-系综的联系以及能级间距的所谓 Poisson-Wigner 交叉行为。研究揭示了一种不同对称类系综之间奇特的谱孪生现象。所提出的技术工具更普遍地允许设计满足以下条件的实际矩阵模型：i) 具有旋转不变性；ii) 拥有实有效 Dyson 指数$\beta_{eff}$；iii) 具有预设的约束势或 alternatively 能级间距分布。解析结果已通过数值模拟验证，吻合极佳。最后，我们讨论了可能的推广及进一步的研究方向。