$2\times 2$ 广义随机矩阵系综中从混沌到可积交叉的动力学特征

我们引入了一个双参数广义 $2\times 2$ 实对称随机矩阵系综，称为 $\beta$-Rosenzweig-Porter 系综（\brpe），由 $\beta$（类比库仑气体模型的虚构逆温度）和 $\gamma$（控制无序相对强度）参数化。\brpe\ 涵盖了 Dyson 三类对称性：当 $\beta=1,2,4$ 时分别对应正交、酉和辛对称类的 RPE。首先，我们通过计算最近邻间距（NNS）的密度和二阶矩来研究能量关联，并稳健地量化了不同程度能级排斥之间的交叉。其次，通过精确计算保真度的随时间演化来确定动力学性质，从而识别出特征的 Thouless 时间和平衡时间尺度。平均保真度中关联洞的相对深度作为从混沌到可积交叉的动力学特征，并使我们能够构建 \brpe\ 在 $\gamma$-$\beta$ 平面上的相图。我们的结果在定性上与 $N\gg2$ 矩阵系综的数值计算保真度一致。此外，我们观察到对于大 $N$，NNS 的二阶矩和关联洞的相对深度在 $\gamma=2$ 处表现出二阶相变。