$(q,t)$-Kostka系数的特殊情形与标准表法统计量的正性

我们给出两个对称函数算子 $H_3^{qt}$ 和 $H_4^{qt}$,它们具有性质 $H_{3}^{qt} H_{(2^a1^b)}[X;q,t] = H_{(32^a1^b)}[X;q,t]$ 以及 $H_4^{qt} H_{(2^a1^b)}[X;q,t] = H_{(42^a1^b)}[X;q,t]$。这些算子是类似算子 $H_2^{qt}$ 的推广,并且也可用 Hall-Littlewood 顶点算子表示。我们还讨论标准表法上的统计量 $a_{\mu}(T)$ 和 $b_{\mu}(T)$,使得当 $\mu$ 为两列或形如 $(32^a1^b)$ 或 $(42^a1^b)$ 时,$q,t$ Kostka 多项式由形状为 $\la$ 的标准表法上的求和给出:$K_{\la\mu}(q,t) = \sum_T t^{a_{\mu}(T)} q^{b_{\mu}(T)}$。这为先前未知的 $K_{\la (32^a1^b)}(q,t)$ 和 $K_{\la (42^a1^b)}(q,t)$ 情形中 $(q,t)$-Kostka 系数的正性提供了证明。顶点算子公式被用来给出标准表法类的生成函数公式,推广了 $\mu$ 为两列的情形。