正定算子幂的表征

本文提出了正规算子和正定算子通过其幂的新型表征。具体而言，我们证明若 $T^2$ 为正规算子，则 $\mathcal{W}(T^{2k+1})$ 位于通过原点的直线的一侧（可能包括线上的某些点），其中 $k\in\mathbb{N}$，且 $\mathrm{asc\,}(T)= 1$（或 $\mathrm{dsc\,}(T)=1$），则 $T$ 必为正规算子。这补充了 Putnam [28] 的既有结果。进一步地，我们证明 $T$ 为正规（正定）算子当且仅当 $\mathrm{asc\,}(T)= 1$ 且存在互素的 $p,q\geq 2$，使得 $T^p$ 和 $T^q$ 为正规（正定）。最后，我们还表明 $T$ 为正定当且仅当 $T^k$ 对所有 $k\in\mathbb{N}$ 均为锥算子，这充分回答了 [22] 中关于该问题的肯定回答。