实线上谱测度的双矩刻画

Kiukas、Lahti 和 Ylinen 提出了如下一般问题：正算子测度何时为投影值测度？本文作者近期论文中以算子矩表述的该问题的一个版本被提出。设 $T$ 为自伴算子，$F$ 为实线上具有紧支撑的 Borel 半谱测度。对哪些正整数 $p< q$，等式 $T^k =\int_{\mathbb{R}} x^k F(dx)$，$k=p, q$，可推出 $F$ 为谱测度？本文完全解决了第二个问题。答案为：当 $p$ 为奇数且 $q$ 为偶数时肯定，否则否定。与内禀噪声算子密切相关的情形 $(p,q)=(1,2)$ 已由包括 Kruszyński 与 de Muynck 以及 Kiukas、Lahti 和 Ylinen 在内的若干作者解决。关于 $C^*$-代数上单位正线性映射乘性的第二个问题的对应情形亦被解决。