通过双侧 q-Wick 公式与半蜿蜒多项式相关联的一个算子

我们考虑半蜿蜒多项式序列 $( Q_n )_{n=1}^{\infty}$,该序列用于半蜿蜒系统的计数(半蜿蜒系统是与经典邮票折叠问题相关的一类图)。我们证明了对固定的自然数 $d$,序列 $( Q_n (d) )_{n=1}^{\infty}$ 作为实线上一个紧支撑概率测度 $\nu_d$ 的矩序列出现。更一般地,我们考虑 $Q_n(t)$ 的一个双变量推广 $Q_n (t,u)$,它与“自交蜿蜒系统”这一自然概念相关;$Q_n (t,u)$ 的第二个变量记录此类系统的交叉数(特别地,有 $Q_n (t,0)$ 即为原始半蜿蜒多项式 $Q_n (t)$)。我们证明了对固定的自然数 $d$ 和固定的满足 $|q| < 1$ 的实数 $q$,序列 $( Q_n (d,q) )_{n=1}^{\infty}$ 作为实线上一个紧支撑概率测度 $\nu_{d:q}$ 的矩序列出现。该测度 $\nu_{d;q}$ 被求作算子 $T_{d;q}$ 的标量谱测度,此算子由 Bozejko 与 Speicher 引入的满 Fock 空间的 $q$-变形上的左、右产生/湮灭算子构造而得。对 $T_{d;q}$ 的矩的相关计算通过使用(此前在单侧情形研究过的)$q$-Wick 公式的双侧版本完成,该公式涉及一对偶划分的交叉数。