Macdonald对偶性与量子Q系统猜想的证明

Macdonald理论中Cherednik球面子仿射Hecke代数的$SL(2,\mathbb Z)$对称性包含一个特殊的生成元，它作为Macdonald算子的离散时间演化，也可解释为A型环面的Dehn扭曲。我们对所有ABCD型扭曲与非扭曲仿射代数证明：在$t\to\infty$的$q$-Whittaker极限下，时间演化的$q$-差分Macdonald算子构成相应离散可积量子Q系统的表示；除一种情形外，这些Q系统均通过对适当簇代数的正则量子化得到。证明强烈依赖于Macdonald与Koornwinder多项式的对偶性质，该性质在$q$-Whittaker极限下使得量子Q系统变量与守恒量可分别作为时间演化的Macdonald算子与Pieri算子的极限而获得统一描述。后者被识别为相对论$q$-差分Toda哈密顿量。证明中的一个关键要素是使用“傅里叶变换”图景，在其中我们计算时间平移算子并证明它们与Pieri算子或哈密顿量对易。我们还讨论了Koornwinder-Macdonald本征值方程与Pieri方程的普适解，并证明其间的对偶关系，从而进一步简化证明。