关于$q$-圆算子的范数

$q$-对易关系在Bożejko和Speicher的$q$-Fock空间框架中表述，它插值了分别定义在经典玻色子和费米子Fock空间上的经典对易关系(CCR)和经典反对易关系(CAR)。将$q$-Fock空间解释为具有特定交换性结构的“随机变量”代数，可以构造所谓的$q$-半圆算子和$q$-圆算子，它们分别是经典高斯随机变量和复高斯随机变量的$q$-形变。虽然$q$-半圆算子通常已被很好地理解，但$q$-圆算子的许多基本性质（特别是其范数的可处理表达式）仍然难以捉摸。受自由概率组合方法的启发，我们重新审视了这些算子的组合公式。我们指出，通过Touchard在20世纪50年代发展并由Riordan在1974年提炼的弦交叉图的生成函数，可以得到$q$-半圆算子的$2n$-范数的有限交错和表达式。将这些范数作为$q$的函数延拓到复单位圆盘上，并取$n\to\infty$极限，我们恢复了$q$-半圆算子范数的熟悉表达式，并证明了该收敛在单位圆盘的紧子集上是一致的。相比之下，$q$-圆算子的$2n$-范数由奇偶反转的弦交叉图编码，这类图在组合文献中尚未被刻画。我们推导了这些对象的某些组合性质，包括任意大小且交叉数不超过11的此类图数量的闭式表达式。这些性质使我们能够得出结论：$q$-圆算子的$2n$-范数的性质远不如$q$-半圆算子的$2n$-范数良好。