箭图Hall-Littlewood函数与Kostka-Shoji多项式

对于任意由箭图$Q$中的顶点$i$、正整数$a$以及支配性$GL_a$-权$\mu$构成的三元组$(i,a,\mu)$，我们定义作用于$Q$的顶点上的对称函数的张量幂$\Lambda^Q$的箭图电流$H^{(i,a)}_\mu$。这些给出了Hall-Littlewood对称函数理论中抛物型Garsia-Jing产生算子的箭图推广。对于此类数据的序列构成的三元组$(\mathbf{i},\mathbf{a},\mu(\bullet))$，我们定义箭图Hall-Littlewood函数$H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{\mu(\bullet)}$为用相应箭图电流序列作用于$1\in\Lambda^Q$的结果。箭图Kostka-Shoji多项式是$H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{\mu(\bullet)}$在张量Schur基中的展开系数。这些多项式包含Kostka-Foulkes多项式、抛物型Kostka多项式（Jordan箭图）以及Kostka-Shoji多项式（循环箭图）作为特例。我们证明了箭图Kostka-Shoji多项式是由序列$\mathbf{i},\mathbf{a}$确定的Lusztig卷积图上向量丛的等变Euler特征的分次重数。对于某些电流复合，我们猜想在Lusztig卷积图上关联向量丛的高阶上同调消失。对于无分支的箭图，我们提出了用可催化多重表(catabolizable multitableaux)表示的箭图Kostka-Shoji多项式的显式正公式。我们还将我们的构造与$K$-理论Hall代数联系起来，通过将箭图Kostka-Shoji多项式实现为自然结构常数，并表明箭图电流提供了相应洗牌乘积的对称函数提升。在循环箭图的情形下，我们解释了箭图电流如何出现在Saito的$\mathfrak{sl}_r$型量子环面代数的顶点表示中。