基于拉格朗日方法的确定性平均场型最优控制问题的庞特里亚金极大值原理

我们研究确定性平均场型自由端点最优控制问题的必要性最优条件。我们的研究依赖于拉格朗日方法，该方法将平均场型控制系统视为由某个概率空间中的元素标记的无限多个智能体组成的群体。首先，我们推导出拉格朗日形式的庞特里亚金极大值原理。此外，我们考虑 Kantorovich 形式和 Eulerian 形式，它们分别通过轨迹集合上的分布和非局部连续性方程来描述平均场型控制系统。我们证明，在 Kantorovich 或 Eulerian 表述中的局部极小元可确定拉格朗日方法中的局部极小元。由此，我们推导出 Kantorovich 和 Eulerian 形式的庞特里亚金极大值原理。为说明一般理论，我们考察了一个平均场型线性二次调节器的模型系统。我们表明，这种情况下的最优策略由线性反馈决定。