p进制算术中进位的多项式表达式

众所周知，特征为 $p$ 的有限素域上的任意 $n$ 元函数均可表示为同一域上的多项式，其单项式最多有 $p^n$ 个。然而，对于给定的具体函数，确定其多项式并不显然。本文研究了 $p$ 进制整数加法与乘法中进位的具体多项式表达式。对于加法情形，我们的结果给出了一类新的对称多项式，推广了二进制情形 $p = 2$ 下的已知结果（该情形下进位由初等对称多项式给出）。另一方面，对于 $n$ 个个位整数的乘法情形，我们利用伯努利数给出了向上一位进位的多项式表达式的简单公式，并证明其仅含 $(n+1)(p-1)/2 + 1$ 个单项式，远少于一般函数的最坏情况 $p^n$ 个单项式。我们还讨论了我们的结果在加密数据密码学计算中的应用。