$\Gamma_0(q)\setminus SL_2(\mathbb{R})$ 上 Eisenstein 级数的逐点界

我们利用 Sobolev 技术，对无平方因子水平 $q$ 的 $X_0(q) = \Gamma_0(q)\setminus SL_2(\mathbb{R})$ 上的 Eisenstein 级数构造了权方面的逐点界。更具体地，我们证明对于 $X_0(q)$ 上权参数 $n$、类型 $t$ 的 Eisenstein 级数 $E$，对所有 $x\in X_0(q)$ 有：$|E(x,1/2 + it)| \ll_{\epsilon} q^{\epsilon}(1 + |n|^{1/2 + \epsilon} + |t|^{1/2 + \epsilon})\sqrt{y(x) + y(x)^{-1}}$，其中 $y(x)$ 是点 $x$ 的 Iwasawa $y$-坐标。