无平方因子级的新形式与 Eisenstein 级数间的高阶同余

设 $p\geq 5$ 为素数。对于权为 2 且级为 $\Gamma_0(N)$ 的椭圆模形式，其中 $N>6$ 为无平方因子数，我们利用带校正因子的广义 Bernoulli 数（自下方）界定模 $p$ Eisenstein 同余的深度，并展示该深度如何检测 Eisenstein 理想的局部非主性。随后，我们利用 Ribet 和 Yoo 的容许性结果，给出了一类 Eisenstein 理想非局部主的无穷多个例子。最后，我们通过显式计算说明这些结果，并给出一个与 Hilbert--Samuel 重数相关的有趣的交换代数应用。