点过程的点映射概率与 Mecke 不变测度方程

相容点移位 $F$ 以平移不变的方式将平稳点过程 $\Phi$ 的每个点映射到 $\Phi$ 的某个点。它完全由其关联的点映射 $f$ 决定，$f$ 给出了原点在 $F$ 下的像。J. Mecke 证明了如果 $F$ 是双射，则 $\Phi$ 的 Palm 概率在 $-f$ 的平移下保持不变。本文motivating 的初始问题是该不变性结果的如下推广：在非双射情形下，计数测度空间上的哪些概率测度在 $-f$ 的平移下保持不变？$\Phi$ 的点映射概率定义为点映射平移半群在 Palm 概率空间上的作用，更确切地说，是该半群作用轨道的紧化。如果点映射概率存在、唯一确定且满足某些连续性性质，那么它为这个不变测度问题提供了一个解。点映射概率是具有独立意义的对象。研究表明它们是 Palm 概率的严格推广：当 $F$ 为双射时，$\Phi$ 的点映射概率退化为 $\Phi$ 的 Palm 概率；当它不是双射时，存在 $\Phi$ 的点映射概率相对于其 Palm 概率奇异的情形。本文给出了平稳点过程的点映射概率存在的基于 tightness 的判据，并提供了将点映射概率解释为给定原点具有所有阶 $F$ 原像条件下点过程的条件律。最后通过几个例子说明了这些结果。