Dirichlet 环境下 2D 随机游走中从粒子视角观察的过程的不变测度

在本文中，我们考虑 $\mathbb{Z}^2$ 上 Dirichlet 随机环境中的随机游走 (RWDE)。我们证明，如果 RWDE 是常返的（当权重对称时被强烈猜想为成立），则不存在任何从粒子视角观察的过程的、关于环境的静态律绝对连续的不变测度。此外，如果游走是方向暂留的且在条件 $\mathbf{(T')}$ 下，我们证明如果俘获参数满足 $\kappa > 1$ 或在通过环境的局部函数对过程进行加速之后，存在这样的不变概率测度。这为二维 RWDE 中不变测度存在与否的情形的分类猜想提供了有力支持。证明基于一个陈述于一般有限图上的新恒等式，该恒等式受 $\star$-VRJP（顶点强化跳跃过程的不可逆推广）用随机 Schrödinger 算子表示的启发。在 1D 图上的 RWDE 情形下，前述恒等式还导出了 Brownian motion 的 Matsumoto-Yor 性质的一个离散类比。