非线性 Hawkes 过程的 Palm 空间方法

$\R$ 上的 Hawkes 过程是一种点过程，其在时刻 $t$ 的强度函数是关于 $t$ 之前过往活动的泛函。它由激活函数 $\Phi$ 与记忆函数 $h$ 定义。本文将 Hawkes 性质表达为作用于与其点间距离相关的非负序列子空间上的算子。借助平稳点过程与其 Palm 测度之间的经典对应关系，我们建立了相应 Palm 测度作为某马尔可夫核不变分布的刻画。我们证明：若 $\Phi$ 连续且其增长率至多为线性且速率低于某常数，则存在平稳 Hawkes 点过程。文献中对无界函数 $\Phi$ 的经典 Lipschitz 条件得以放宽。我们的证明结合了耦合方法、线性 Hawkes 过程的单调性性质以及关于 Palm 分布的经典结果。对 $\R_-$ 上从零测度（空状态）开始的 Hawkes 过程的考察也起着重要作用。借此机会重访了 Hawkes 与 Oakes 的线性情形。若记忆函数 $h$ 为指数函数，则在弱条件下可证存在唯一的平稳 Hawkes 点过程。此时，其 Palm 测度由一维 Harris 遍历马尔可夫链的不变分布表示。当激活函数 $\Phi$ 为次数 ${>}1$ 的多项式时，不存在平稳 Hawkes 过程；若 Hawkes 过程从空状态开始，则获得了其点累积的缩放结果。