基于超图无冲突着色的柔性索引编码

在柔性索引编码（PICOD）问题中，服务器需为多个客户端提供服务，每个客户端拥有完整消息集的一个唯一子集作为边信息，并请求一条其尚未拥有的新消息。服务器的目标是以尽可能少的传输次数完成此任务。本文提出一种针对标量 PICOD 问题的超图着色方法。文献中已知的超图“无冲突着色（conflict-free coloring）”是指为超图顶点分配颜色，使得每条超边包含唯一一个具有特定颜色的顶点。对于给定的由消息作为顶点、请求集作为超边所表示的 PICOD 问题，我们利用 PICOD 超图的无冲突着色给出了可实现的 PICOD 方案。由此类着色（及一些新的着色变体）产生的各种图论参数给出了最优 PICOD 长度的若干上界，本文对此进行了研究。设 PICOD 超图有 $m$ 个顶点和 $n$ 条超边，其中每条超边至多与 $\Gamma$ 条其他超边重叠。我们给出了易于实现的随机算法，用于以下情形：(a) 对于单请求情形，给出长度为 $O(\log^2\Gamma)$ 的 PICOD。该结果在某些参数范围内改进了已知的可实现性结果；(b) 对于 $t$-请求情形，给出一个长度为 $\max(O(\log \Gamma \log m), O(t \log m))$ 的 MDS 码。进一步，若超边（请求集）足够大，我们给出与上述相同长度、且不基于 MDS 构造的 PICOD。总体上，这改进了先前的可实现性结果。我们的码长近乎最优（相差至多 $\log t$ 的乘性因子）。