“连续完全-$S$” PICOD 问题的信息论逆界

可塑索引编码(PICOD)是索引编码(IC)问题的一个变体，其中只要用户能成功解码其边信息集以外的任意一个消息(而非固定的预定消息)即得到满足。具有 $m$ 个消息的完全-$S$ PICOD，对 $S\subseteq[0:m-1]$，拥有 $n = \sum_{s\in S} \binom{m}{s}$ 个具有不同边信息集的用户。以往 PICOD 工作要么在发送方受限使用线性码时、要么对若干特殊类别的完全-$S$ PICOD 给出了紧逆界。本文针对所谓“连续完全-$S$” PICOD 给出了紧的信息论逆界(即不限制线性码)，其中集合 $S$ 满足 $S=[s_{min} : s_{max}]$，对某个 $0\leq s_{min} \leq s_{max} \leq m-1$。该结果推广了现有逆界，并表明线性码具有由 $\min(m-s_{\min},1+s_{\max})$ 给出的最小可能码长。核心贡献是根植于组合学的新证明技术。主要思想是考虑用户除自身期望消息外最终能成功解码的所有消息。这使我们免除了本质上考量用户所有可能期望消息分配的必要性。证明的基石是表明，对 $S=\{s\}$ 且 $m = 2s+1$ 的情形，至少存在一个能解码 $s+1$ 个消息的用户。由此可推广至“连续完全-$S$” PICOD。