若干可塑索引编码问题的紧信息论逆界结果

本文研究可塑索引编码问题（PICOD），其建模了内容类型分发网络。在 PICOD$(t)$ 问题中，有 $m$ 条消息、$n$ 个用户，且每个用户拥有一个互不相同的消息边信息集，如同经典的索引编码问题（IC）一样。与 IC 不同的是，IC 中每个用户有预先指定的待解码消息集合，而在 PICOD$(t)$ 中用户是“可塑的”，只要能解码其边信息集之外的任意 $t$ 条消息即满足要求。目标是找到满足所有用户且长度最短的码。这种在确定所需消息集合上的灵活性使得 PICOD$(t)$ 的行为与 IC 截然不同，且分析起来颇具挑战。本文主要关注具有 $m$ 条消息的完全--$S$ PICOD$(t)$，其中集合 $S\subset[m]$ 包含边信息集的大小，用户数为 $n=\sum_{s\in S}\binom{m}{s}$，且任意两个用户不具有相同的边信息集。对以下情形给出了容量结果：(i) 连续完全--$S$ PICOD$(t)$，其中 $S=[s_{\min}:s_{\max}]$，对某些 $0 \leq s_{\min} \leq s_{\max} \leq m-t$；(ii) 补连续完全--$S$ PICOD$(t)$，其中 $S=[0:m-t]\backslash[s_{\min}:s_{\max}]$，对某些 $0 < s_{\min} \leq s_{\max} < m-t$。新颖的逆界证明受组合设计技术启发，其关键洞见是考虑用户最终能成功解码的所有消息，即便是超出所需 $t$ 条的那些。这使得人们无需考虑用户处所有可能的所需消息集分配以找出导致最短码长的一种。此外，还对具有圆弧网络拓扑超图的那些 PICOD$(1)$ 给出了紧逆界结果。