通过SDP取整提高超图的线性有序着色

我们考虑线性有序（LO）着色超图的问题。若存在顶点着色方案（使用有序颜色集合），使得（i）无边为单色，（ii）每条边拥有唯一最大颜色，则该超图具有LO着色。一个2-LO可着色3-uniform超图是否能在多项式时间内用3种颜色进行LO着色 remains 一个开放问题。Nakajima和\v{Z}ivn\'{y}最近给出一个在多项式时间内用 $\widetilde{O}(n^{1/3})$ 种颜色对此类超图进行着色的算法，并询问是否可以使用SDP方法直接获得更紧的界。我们的主要结果是表明如何使用基于SDP的取整方法为此类超图生成LO着色，使其使用 $\widetilde{O}(n^{1/5})$ 种颜色。我们展示如何将问题简化为高度结构化SDP解的情况，即称为平衡超图的情况。然后，我们讨论如何应用经典SDP取整工具以获得更好的界限。