柏拉图立体、阿基米德立体与球面上的半等面映射

顶点传递映射 $X$ 是曲面上的映射，其中 $X$ 的自同构群在 $X$ 的顶点集上传递作用。如果映射中所有顶点处的面循环类型相同，则该映射称为半等面映射。显然，顶点传递映射是半等面映射。其逆命题一般不成立。特别地，在环面、Klein 瓶以及 Euler 示性数为 $-1$ 和 $-2$ 的曲面上存在非顶点传递的半等面映射。已知柏拉图立体、阿基米德立体、正棱柱和反棱柱的边界是 $\mathbb{S}^2$ 上的顶点传递映射。这里我们证明，在 $\mathbb{S}^2$ 上恰好存在一个非顶点传递的半等面映射。更确切地说，我们证明 $\mathbb{S}^2$ 上的半等面映射是柏拉图立体、阿基米德立体、正棱柱、反棱柱或伪菱形立方八面体的边界。作为推论，我们证明 $\mathbb{RP}^2$ 上的所有半等面映射都是顶点传递的。此外，$\mathbb{S}^2$ 上的每个半等面映射都可以几何化，即 $\mathbb{S}^2$ 上的每个半等面映射同构于 $\mathbb{S}^2$ 的一个半正铺嵌。在证明主要结果的过程中，我们以不等式的形式给出了 $\mathbb{S}^2$ 上所有类型半等面映射的组合刻画。这里，我们给出了所有结论的自洽组合证明。